Связь эмпирических и числовых систем

При экспертном оценивании предметной области важным является возможность для эмпирической системы с отношениями построения числовой системы с отношениями, описывающими влияние объектов и отношения между ними с помощью чисел.
Для того, чтобы числовая система сохраняла свойства и отношения объектов, необходимо, чтобы она была изоморфной эмпирической системе. Для пояснения этого понятия определим понятие подобности двух систем. Две системы с отношениями
M = ( O ;  R1, R2, ... , Rk ),
H =  ( N ;  S1, S2, ... , Sm  )
называются подобными, если:
число отношения (заданных на множестве объектов и действительных чисел) одинаково, то есть k = m;
местность отношений одинакова (например Ri и Si двуместные отношения).
Определив понятие подобности, мы можем теперь дать определение изоморфности двух систем (числовой и эмпирической). Числовая система с отношениями
H = ( N ;  S1, S2,  ... , Sm )
изоморфна эмпирической системе
M = ( O ; R1, R2,  ...  , Rk ),
если:
эти системы подобны;
и существует взаимно однозначное отображение (функция) f объектов на числовое множество такое, что отношение Rk между объектами имеет место тогда и только тогда, когда имеет место отношение Sm между числами, отображающими объекты на числовой оси.
Например, для случая двуместных отношений  Oi Rk Oj  это будет иметь место тогда и только тогда, когда имеет место ri Sk rj, где ri и rj получены отображением объектов ri=f(Oi) и rj=f(Oj).
Проблема единственности определяет: сколькими способами можно описать данную эмпирическую систему различными изоморфными числовыми системами, и как эти числовые системы связаны между собой. Эта проблема формулируется, как проблема определения типа шкалы. Шкалой называется совокупность:
эмпирической системы;
числовой системы;
и отображения, то есть  < M,  H,  f >.
Пусть < M,  H,  f > и  < M, H, g > две шкалы с разными отображениями, тогда возникает вопрос о взаимосвязи числовых значений, полученных этими отображениями. Например r i= f( Oi ), ri' = g( Oi ). Связь между числами ri и ri' запишем с помощью функции j :  r i = j ( ri' )  или  f ( Oi ) = j [ g ( Oi ) ].
Функция j называется допустимым преобразованием шкалы. Единственность описания эмпирической системы числовыми системами выражается в свойствах допустимого преобразования шкалы, то есть в свойствах функции j.